El hotel de Hilbert
David
Hilbert fue un excelente matemático de finales del S.XIX y principios del XX
nacido en Königsberg, la famosa ciudad del problema de los puentes. Su fama es
motivada tanto por su gran aportación científica, como por su lista propuesta
en 1900 de los 23 problemas sin resolver más importantes de su época, que
fueron los que marcaron el rumbo de la investigación matemática durante buena
parte del S.XX.
Si
en un papel escribimos un número muy grande, por ejemplo de mil cifras, ese
número será finito porque, aunque sea muy grande, lo podemos leer (eso sí, con
mucha paciencia). En cambio, si nos pusiéramos a escribir un número de una
cantidad indeterminada de cifras, en el que no pararíamos nunca de escribir,
ese número sí sería infinito.
Para
que entendamos este concepto y algunas propiedades, Hilbert desarrolló su
metáfora:
El
primero vuelve a proponer un número, en este caso 100.000 habitaciones, pero
vuelve a ser rechazado. Alguien podía construir un hotel con 200.000
habitaciones y entonces ya no sería el hotel más grande.
El
empresario se vuelve a armar de valentía y hace su última propuesta: “Solo nos
queda una opción, construyamos un hotel con infinitas habitaciones”. Nadie le
pudo hacer ningún reproche, porque nadie podrá construir un hotel más grande.
Una
vez inaugurado, rápidamente se llenan sus infinitas habitaciones con infinitos
huéspedes. Solo había una condición: si llegaba un nuevo huésped, los demás se
tendrían que cambiar de habitación para que todos entraran.
Al
poco tiempo llegó una persona pidiendo una habitación libre. El recepcionista
le dijo que por supuesto, que solo tenía que esperar a que los clientes se
cambiaran de habitación.
El
recepcionista llamó a todos los huéspedes y les dijo que miraran el número de
su habitación y se mudaran a la habitación un número mayor, es decir, por
ejemplo la habitación 23 pasaría a la 24 o en general la habitación n a la n+1.
Como hay infinitas habitaciones, siempre va a haber un número de habitación una
unidad mayor. Así la primera habitación quedaría libre y el nuevo cliente
tendría donde dormir.
Esto
nos hace intuir que los números naturales (1,2,3,4,…) son infinitos, porque
siempre les vamos a poder sumar uno y hacerlo más grande.
Pero
la historia de nuestro hotel no acaba ahí. Al poco tiempo, llegó un autobús
infinito, con infinitos turistas que necesitaban infinitas habitaciones. El
recepcionista para resolver el problema llamó a todos los clientes del hotel y
les dijo que se cambiaran a la habitación que fuera el doble del número de la
suya, es decir, por ejemplo el habitante de la habitación 23 se mudaría a la
habitación 46, o en general el habitante de la habitación n a la 2n, cosa que
se puede hacer porque las habitaciones son infinitas.
Si
nos fijamos, 2n es un número par (cualquier número multiplicado por dos es par),
entonces todas las habitaciones impares se quedaron libres y así se pudieron
instalar los pasajeros del autobús infinito.
Esto
nos prueba de manera intuitiva que los números pares son infinitos y que los
impares también son infinitos.
Hay
muchas más combinaciones posibles…
